In Arlesheim aufgewachsen, studierte Martin Bruns Violine bei Sandor Zöldy in Basel und spielte für einige Jahre im Berner Sinfonieorchester, bevor er sein Gesangsstudium bei Daniel Ferro an der Juilliard School in New York antrat. Er begann seine Laufbahn als Ensemblemitglied am Hessischen Staatstheater in Wiesbaden und sang verschiedene Rollen wie Papageno, Barbier, Dandini, Donner oder Silvio. Gastengagements führten ihn an die Bayerische Staatsoper in München und Opernhäuser in Bern, Freiburg im Brsg. sowie an die Deutsche Oper am Rhein in Düsseldorf. Die Vielseitigkeit des Baritons spiegelt sich in seinem breit gefächerten Repertoire von Monteverdi und Bach über Mozart, Mahler und Schönberg bis zur zeitgenössischen Musik. 
Martin Bruns hat mit führenden Orchestern und Ensembles gesungen, u.a. dem Symphonie Orchester des Bayerischen Rundfunks in München, dem Radio-Sinfonieorchester Frankfurt, dem NDR-Sinfonieorchester Hamburg, dem Scharoun Ensemble der Berliner Philharmoniker, der New York Chamber Symphony und dem Israel Kibbutz Orchestra. Er trat in in Europa und den USA an internationalen Liederabenden und Festivals, wie den Osterfestspielen von Salzburg oder den Int. Musikfestwochen in Luzern, auf. Dabei arbeitete er mit renommierten Dirigenten wie Marcello Viotti, Ivor Bolton, Eric Ericson und Michel Corboz zusammen. Heute ist er Preisträger mehrerer internationaler Wettbewerbe.
Bruns hat bei zahlreichen Rundfunkproduktionen im In- und Ausland mitgewirkt und CD-Einspielungen bei Naxos, Decca, Divox und ArsProduktion aufgenommen.
Heute lebt Martin Bruns in Basel. Er ist Gesangsprofessor an der Kölner Hochschule für Musik und Tanz in Aachen und Gastprofessor an der Berliner Hochschule für Musik „Hanns Eisler“